Derivace funkce jedné proměnné — kompletní výklad

1. Motivace: co derivace vyjadřuje

Derivace popisuje okamžitou rychlost změny. Například máš-li polohu tělesa \(s(t)\), pak okamžitá rychlost je derivace: \[ v(t)=s'(t). \]

Geometricky derivace vyjadřuje směrnici tečny ke grafu funkce v daném bodě.

Intuice: Když se posuneš o malý kousek v \(x\), derivace říká, o kolik se přibližně změní \(f(x)\).

2. Směrnice sečny a přechod k tečně

Uvažuj body na grafu funkce \(f\): \[ A=(x,f(x)), \qquad B=(x+h,f(x+h)). \] Směrnice přímky (sečny) procházející \(A\) a \(B\) je: \[ k_{AB}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \] Když \(h \to 0\), bod \(B\) se blíží k \(A\) a sečna se „mění“ v tečnu.

3. Definice derivace (limitní)

Derivace funkce \(f\) v bodě \(x\) je definována limitou: \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \] Pokud limita existuje, říkáme, že \(f\) je v bodě \(x\) diferencovatelná.

Pozor: Spojitost \(\ne\) diferencovatelnost. Existují spojité funkce, které derivaci v bodě nemají (typicky „zlomy“ jako u \(|x|\) v nule).

4. Výpočet derivace z definice

4.1 Příklad: \(f(x)=x^2\)

\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}. \] Roznásobíme: \[ (x+h)^2=x^2+2xh+h^2. \] Dosadíme: \[ \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h. \] A teď limita: \[ \lim_{h\to 0}(2x+h)=2x. \] Tedy \((x^2)'=2x\).

4.2 Příklad: \(f(x)=|x|\) v bodě \(0\)

Z definice v bodě \(0\): \[ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}. \] Pro \(h>0\) je \(\frac{|h|}{h}=1\), pro \(h<0\) je \(\frac{|h|}{h}=-1\). Levá a pravá limita jsou různé, takže derivace v nule neexistuje.

5. Derivační pravidla

Jakmile chápeme definici, používáme pravidla (rychlejší a praktická):

Konstanta: \((c)'=0\).
Součet: \((f+g)'=f'+g'\).
Násobek: \((cf)'=c f'\).
Součin: \((fg)'=f'g+fg'\).
Podíl: \(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\), kde \(g(x)\neq 0\).
Řetězové pravidlo: \((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\).

5.1 Mocninné pravidlo

Pro \(n\in\mathbb{N}\) (a obecně i pro reálné exponenty v příslušné definiční oblasti): \[ (x^n)' = n x^{n-1}. \]

5.2 Ukázka řetězového pravidla

Derivuj \(f(x)=(3x-5)^7\). \[ f'(x)=7(3x-5)^6\cdot (3x-5)' = 7(3x-5)^6\cdot 3 = 21(3x-5)^6. \]

6. Derivace elementárních funkcí

\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((e^x)'=e^x\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\) pro \(x>0\)

7. Rovnice tečny v bodě

Tečna ke grafu \(y=f(x)\) v bodě \(x=a\) má směrnici \(f'(a)\) a prochází bodem \((a,f(a))\). Proto má rovnici: \[ y = f(a) + f'(a)(x-a). \]

Příklad: Najdi tečnu ke \(f(x)=x^2\) v bodě \(a=1\). \[ f(1)=1,\quad f'(x)=2x \Rightarrow f'(1)=2. \] \[ y = 1 + 2(x-1)=2x-1. \]

8. Monotonicita a lokální extrémy

8.1 Monotonicita

Pokud \(f'(x)>0\) na intervalu, funkce tam roste.
Pokud \(f'(x)<0\) na intervalu, funkce tam klesá.

8.2 Kritické body a extrémy

Kandidáti na lokální extrémy jsou body, kde \(f'(x)=0\) nebo derivace neexistuje (při zachování definičního oboru). Pro rozhodnutí se používá změna znaménka derivace:

\(+ \to -\): lokální maximum
\(- \to +\): lokální minimum
\(+ \to +\) nebo \(- \to -\): typicky sedlový bod (nebo žádný extrém)

Příklad: Najdi extrémy \(f(x)=x^3-3x\). \[ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1). \] Kritické body: \(x=\pm 1\). \[ f'(-2)=9>0,\quad f'(0)=-3<0,\quad f'(2)=9>0. \] Znaménka: \(+\to-\) v \(-1\) (maximum), \(-\to+\) v \(1\) (minimum).

9. Lineární aproximace (lokální linearizace)

Pro malé \(h\) platí aproximace: \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h. \] To znamená: v malém okolí bodu se funkce chová skoro jako přímka (tečna).

Příklad: Odhadni \(\sqrt{4.1}\). Vezmeme \(f(x)=\sqrt{x}\), bod \(x=4\), takže \(f(4)=2\). \[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(4)=\frac{1}{4}. \] Zde \(h=0.1\): \[ \sqrt{4.1}=f(4+0.1)\approx f(4)+f'(4)\cdot 0.1 = 2+\frac{1}{4}\cdot 0.1=2.025. \]

10. Druhá derivace: zakřivení a konvexita

Druhá derivace je derivace derivace: \[ f''(x)=(f'(x))'. \]

Pokud \(f''(x)>0\), funkce je (lokálně) konvexní (prohnutá „nahoru“).
Pokud \(f''(x)<0\), funkce je (lokálně) konkávní (prohnutá „dolů“).

11. Shrnutí

Derivace je limita: \(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\).
Geometricky: směrnice tečny.
Fyzikálně: okamžitá rychlost změny.
Prakticky: nástroj pro monotonicitu, extrémy, aproximace.